La legge di Gauss per il campo elettrostatico

Livello di difficoltà: università

Flusso elementare e vettore superficie

Considerata una superficie infinitesima $dS$ e indicato con $\vec{n}$ un versore normale a $dS$ , si definisce flusso elementare $d \Phi$ del campo $\vec{E}$ attraverso $dS$ :

$d \Phi=\vec{E} \cdot \vec{n} d S \equiv \vec{E} \cdot d \vec{S}$

dove $\vec{S}=\vec{n} d S$ è il vettore superficie.

Se la superficie è finita, il flusso attraverso questa si calcola mediante l’integrale di quello elementare:

$\Phi(\vec{E})=\int \vec{E} \cdot \vec{n} \mathrm{~d} S$ .

Per convenzione, nel calcolo del flusso attraverso una superficie chiusa, si sceglie il versore normale $\vec{n}$ orientato verso l’esterno.

Indicata con $S$ una superficie finita, scegliamo come origine del sistema di riferimento il punto $O$ occupato da una carica $q$ e tracciamo un cono avente vertice in $O$ e angolo solido infinitesimo $d \Omega$ . Esso intercetta $S$ con una superficie infinitesima $dS$ .

Consideriamo, inoltre, la superficie infinitesima $dS_{SFERA}$ perpendicolare all’asse del cono e indichiamo con $\alpha$ l’angolo formato fra le due normali a $dS$ e $dS_{SFERA}$ : si ha che $dS_{SFERA}=dS \cos(\alpha)$ .

Si ottiene poi che il flusso infinitesimo del campo elettrico $\vec{E}$ attraverso $dS$ è:

$d\Phi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \cos (\alpha) d S.$

$=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{d S_{SFERA}}{r^{2}}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} d \Omega.$

La legge di Gauss

Se la superficie attraverso cui calcoliamo il flusso di $\vec{E}$ è chiusa, si ha che il flusso totale è:

$\Phi_{s c}(\vec{E})=\oint d \Phi=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oint d \Omega=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$ .

Il cerchietto attorno al simbolo di integrale serve a indicare che la superficie su cui si calcola il flusso è chiusa: inoltre, nel calcolo dell’integrale, si è fatto uso della proprietà che l’angolo solido totale vale $4 \pi$ .

Abbiamo trovato la legge di Gauss, secondo la quale:

“il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa è uguale alla somma delle cariche interne alla superficie, divisa per $\varepsilon_{0}$ “,

in formule:

$\Phi_{s c}(\vec{E})=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum_{i} q_{i}^{INT}.$

Forma locale della legge di Gauss

La formulazione della legge di Gauss, nel caso di distribuzione di carica continua, esprime le proprietà del campo elettrostatico in una forma integrale:

$\Phi_{S C}(\vec{E})=\frac{1}{\epsilon_{0}} \int d q^{I N T}.$

Di essa si può dare una formulazione locale, espressa in forma differenziale, che descrive le proprietà del campo in ogni punto in cui esso è continuo.

Il passaggio dalla forma integrale a quella locale si basa su una relazione matematica, detta teorema della divergenza; nelle regioni in cui il campo è continuo, tale teorema esprime il flusso di un vettore generico $\vec{A}$ attraverso una superficie chiusa $\Sigma$ mediante l’integrale, esteso al volume $V$ racchiuso da tale superficie, della divergenza di $\vec{A}$ :

$\oint_{\Sigma} \vec{A} \cdot \vec{n} d S=\int_{V} div \vec{A} d V.$

L’operatore $div \vec{A}$ è definito come:

$div \vec{A} \equiv \nabla \cdot \vec{A}$

$=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.$

Applicando il teorema della divergenza alla formulazione integrale della legge di Gauss otteniamo:

$\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int^{I N T} d q=\Phi_{S C}(\vec{E})$

$=\oint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \vec{n} d S=\int_{V} div \vec{E} dV.$

Scrivendo la carica elementare $dq=\rho dV$ si ha

$\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int^{I N T} d q=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho d V$

$\int_{V}\left(div \vec{E}-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\right) d V=0.$

Poiché l’integrale è nullo qualunque sia il volume $V$ su cui si integra, deve essere identicamente nullo l’integrando, cioè:

$div \vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.$

L’equazione così ottenuta, che può essere scritta anche come

$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}},$

rappresenta la Legge di Gauss in forma differenziale (o locale).

Fonti:

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini: “Fisica – Elettromagnetismo e ottica” – Casa Editrice Ambrosiana, distribuzione esclusiva Zanichelli (2017);
Sergio Focardi, Ignazio Giacomo Massa, Arnaldo Uguzzoni, Mauro Villa: “Fisica Generale – Elettromagnetismo”, Seconda edizione – Casa Editrice Ambrosiana, distribuzione esclusiva Zanichelli (2021);
Enrico Giusti: “Analisi matematica, vol. 1” – Bollati Boringhieri (2002).

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