Centro di massa di un sistema di particelle: cos’è e a cosa serve

Livello di difficoltà: università

Quello di centro di massa è un concetto fondamentale in fisica che viene utilizzato per descrivere le proprietà fisiche e in particolare meccaniche di un di un sistema di particelle, o di punti materiali.

Introduzione

Lo studio della dinamica dei sistemi di punti materiali si focalizza sulla descrizione del movimento dei sistemi estesi, che non possono essere semplificati e schematizzati come punti materiali.

Spesso, gli oggetti che ci circondano appaiono come dotati di proprietà continue, come se la loro materia riempisse in modo uniforme lo spazio che occupano. In realtà, come sappiamo, gli oggetti sono composti da molecole e/o atomi, a loro volta formati da un nucleo circondato da elettroni. Se potessimo guardare la materia con un microscopio ideale che ci permettesse di vedere ogni singolo nucleo ed elettrone, vedremmo (almeno secondo un modello classico) oggetti infinitesimali che si muovono in uno spazio vuoto immenso, poiché le dimensioni degli atomi sono molto maggiori di quelle dei nuclei e degli elettroni.

In termini fisici, il modello più realistico e pratico di un sistema come quelli appena descritti consiste nel modellizzare ogni particella come se fosse un punto materiale. Il numero di punti materiali che costituiscono un sistema è generalmente molto elevato. Ad esempio, in una massa di alcuni grammi o decine di grammi, il numero di punti materiali è approssimativamente pari al cosiddetto numero di Avogadro, ovvero N_A≈6⋅10²³.

Anche se preferiamo utilizzare un modello particellare per la sua semplicità, a volte è conveniente utilizzare un modello continuo per calcolare alcune grandezze che caratterizzano i sistemi. In tal caso, si può facilmente passare dal modello discreto a quello continuo, sostituendo piccole porzioni di materia alle singole particelle (come vedremo più avanti). Per caratterizzare alcune (non tutte!) caratteristiche del movimento di un sistema, è utile definire un punto particolare, chiamato centro di massa, la cui posizione all’interno del sistema è legata alla distribuzione delle masse.

Definizione di centro di massa

Dato un sistema, schematizzato come se fosse costituito di n punti materiali di masse m_i, le cui posizioni sono individuate in un dato sistema di riferimento dai vettori $\vec r_i$ , si definisce il centro di massa C come il punto geometrico individuato dal vettore:

$\vec{r_C}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{r_i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}=\frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} \vec{r}_{i},$

dove $M=\sum_{i} m_{i}$ indica la massa totale del sistema di punti materiali.

In coordinate cartesiane ortogonali, l’equazione precedente corrisponde alle tre equazioni scalari, che forniscono le coordinate del centro di massa:

$x_{\mathrm{C}}=\frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} x_{i} ;\\\\ y_{\mathrm{C}}=\frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} y_{i} ;\\\\ z_{\mathrm{C}}=\frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} z_{i}.$

Centro di massa dei sottosistemi

Supponiamo di suddividere il sistema di n punti materiali in due sottosistemi, il primo dei quali contiene le particelle contrassegnate dai valori dell’indice i da 1 a j e il secondo le rimanenti. Otteniamo così:

${\vec r_C}=\frac{\sum_{i=1}^{j} m_{i} \vec{r_i}+\sum_{i=j+1}^{n} m_{i} \vec{r_i}}{\sum_{i=1}^{j} m_{i}+\sum_{i=j+1}^{n} m_{i}}.$

Se indichiamo con $M_{1}$ e $M_{2}$ le masse dei due sottosistemi, con $r_{C_1}$ e $r_{C_2}$ i vettori posizione dei loro centri di massa e sostituiamo $M_{1} \vec{r_{C_1}}$ e $M_{2} \vec{r_{C_2}}$ alle due sommatorie che appaiono al numeratore dell’ultima relazione, otteniamo:

$\vec r_C=\frac{M_1 {\vec r_{C_1}+M_{2} {\vec r_{C_2}}}}{M_1+M_2}.$

La suddivisione può essere fatta in più di due sottosistemi, nel qual caso si ottiene, con lo stesso metodo usato precedentemente, un’espressione più generale del tipo:

$\vec r_C=\frac{\sum_{s} M_{s} \vec{r_{C_s}}}{\sum_{s} M_{s}},$

dove l’indice s nelle sommatorie corre dal primo all’ultimo dei sottosistemi.

In conclusione, abbiamo dimostrato che la posizione del centro di massa di un sistema può essere trovata suddividendolo in un certo numero di sottosistemi, trovando il centro di massa di ciascuno di questi e, successivamente, calcolando la posizione del centro di massa di un insieme di punti materiali aventi le posizioni dei diversi centri di massa e le masse dei sottosistemi di pertinenza (proprietà distributiva del centro di massa).

Centro di massa di un sistema continuo

L’estensione della definizione e delle proprietà del centro di massa a un modello continuo può essere eseguita suddividendo, come prima, il sistema in sottosistemi, ciascuno di massa Δm_i. Quando le dimensioni lineari dei sottosistemi sono piccole rispetto a quelle del sistema originale, essi possono essere approssimati come puntiformi, per cui si può scrivere:

$\vec{r_C} \approx \frac{\sum_{i} \Delta m_{i} \vec{r_i}}{\sum_{i} \Delta m_{i}}=\frac{1}{M} \sum_{i} \Delta m_{i} \vec{r}_{i}$

Se facciamo tendere a zero le dimensioni lineari dei sottosistemi, ciò implica che anche le masse Δm_i tendano a zero e l’espressione precedente diventa:

$\vec r_C=\frac{\int \vec{r} \mathrm{~d} m}{\int \mathrm{d} m}=\frac{1}{M} \int \vec r \mathrm{~d} m.$

Le coordinate cartesiane del centro di massa risultano allora:

$x_C=\frac{\int x \mathrm{d}m} {\int \mathrm{d}m} ;\\\\ y_C=\frac{\int y \mathrm{d}m}{\int \mathrm{d}m} ;\\\\ z_C=\frac{\int z \mathrm{d}m}{\int \mathrm{d} m}.$

Il metodo utilizzato per trasformare le relazioni da un modello particellare a un modello continuo è del tutto generale, cioè si applica a ogni grandezza fisica definita per un sistema di punti.

Relazione fra centro di massa e densità

La densità media è definita dalla relazione:

$\rho_m=\frac{\Delta m}{\Delta V},$

nella quale Δm è la massa che occupa il volume ΔV. Localmente la densità si definisce come il limite a cui tende il suo valor medio al tendere a zero del volume:

$\rho=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m}{\Delta V}=\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{~d} V}.$

In maniera del tutto analoga, nel caso il sistema sia schematizzato con una superficie S o con una linea l, si definiscono le densità superficiale:

$\sigma=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta m}{\Delta S}=\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{~d} S}$

e la densità lineare:

$\lambda=\lim _{\Delta l \rightarrow 0} \frac{\Delta m}{\Delta l}=\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{~d} l}.$

Si possono quindi ottenere per la massa infinitesima i valori:

$\mathrm{d} m =\rho \mathrm{d} V ; \\\\ \mathrm{d} m =\sigma \mathrm{d} S ; \\\\ \mathrm{d} m =\lambda \mathrm{d} l$

da utilizzare negli integrali per calcolare la posizione del centro di massa, che devono essere calcolati su un volume, su una superficie o su una linea, rispettivamente. In generale, per lo svolgimento del calcolo sarà necessario conoscere la dipendenza della densità dalla posizione, all’interno del sistema considerato.

Se il sistema è omogeneo le densità ρ, σ e λ sono indipendenti dalla posizione. In tale caso il centro di massa dipende solo dalla forma geometrica del sistema e si ha:

$\vec{r}_{\mathrm{C}}=\frac{\int \vec{r} \mathrm{~d} m}{\int \mathrm{d} m}=\frac{\int \vec{r} \rho \mathrm{d} V}{\int \rho \mathrm{d} V}\\\\\\=\frac{\rho \int \vec{r} \mathrm{~d} V}{\rho \int \mathrm{d} V}=\frac{\int \vec{r} \mathrm{~d} V}{\int \mathrm{d} V}\\\\\\=\frac{1}{V} \int \vec{r} \mathrm{~d} V.$

Equivoco diffuso sul centro di massa

Spesso si legge che il centro di massa è quel punto tale per cui il sistema si comporta come se la sua massa fosse tutta concentrata in esso. Di fatto questo è sbagliato, visto che si tratta di un modo di descrivere il centro di massa che non è universalmente valido.

Infatti, ai fini del calcolo del momento della quantità di moto (o momento angolare), in generale non è assolutamente lecito sostituire un sistema di punti materiali di massa totale M con un solo punto materiale, di massa M, posto nel centro di massa.

In conclusione, bisogna sempre ricordarsi che il moto del centro di massa fornisce informazioni sulla parte traslatoria del moto del sistema. In altre parole, anche se è vero che per alcuni aspetti è possibile sostituire un sistema di punti materiali con un solo punto materiale, di massa M, posto nel centro di massa (ad esempio per quanto riguarda la relazione fra le forze esterne e l’accelerazione del sistema, o per quanto riguarda la quantità di moto), per altre grandezze dinamiche, come il momento angolare e l’energia cinetica, tale sostituzione non è consentita.

Random Physics