Somma e differenza fra vettori in fisica

Livello di difficoltà: scuole superiori

All’interno di questo articolo verrà usato come prototipo di vettore il vettore spostamento, fondamentale nella costruzione della cinematica. All’interno di articoli futuri verranno considerate altre grandezze vettoriali.

Vettori uguali e opposti

Due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ sono uguali se hanno stesso modulo, stessa direzione e stesso verso e, in questo caso, scriveremo: $\vec{a}=\vec{b}$ .

Due vettori sono invece opposti se hanno stesso modulo, stessa direzione e versi opposti. Scriveremo in questo caso: $\vec{b}=-\vec{a}$ .

Se $\vec{a}$ viene rappresentato con il segmento orientato $\overrightarrow{A B}$ , allora $-\vec{a}$ potrà essere scritto come $\overrightarrow{B A}$ .

Somma fra vettori

Se un corpo si sposta da un punto $A$ a un punto $B$ e successivamente dal punto $B$ a un punto $C$ , lo spostamento complessivo $\overrightarrow{A C}=\vec{c}$ sarà dato dalla somma di $\overrightarrow{A B}=\vec{a}$ e $\overrightarrow{B C}=\vec{b}$ . Scriveremo quindi: $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ .

Per estensione si può ottenere la somma di più vettori. Graficamente, disegnato il primo vettore, basta far coincidere l’origine di ogni vettore successivo con l’estremo libero del precedente; il risultante (cioè il risultato della somma) si ottiene congiungendo l’origine del primo con l’estremo libero dell’ultimo.

La somma fra vettori gode della proprietà commutativa e di quella associativa:

$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ ,

$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ .

Differenza fra vettori

La differenza fra vettori $\vec{a}-\vec{b}$ si può definire come la somma tra $\vec{a}$ e l’opposto di $\vec{b}: \quad \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$ .

La differenza fra vettori $\vec{a}-\vec{b}$ può essere anche costruita graficamente portando i due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ ad avere l’origine in comune e unendo l’estremo libero del secondo a quello del primo.

Come caso particolare, la differenza fra due vettori uguali dà come risultato il vettore nullo: $\vec{a}-\vec{a}=0$ .

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